Stephan Dahlke

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Forschungsschwerpunkt

Hauptforschungsgebiet der AG Numerik ist die Entwicklung effizienter numerischer Verfahren für Operatorgleichungen. Realistische Probleme, etwa in 3D, führen häufig zu Systemen mit Millionen von Freiheitsgraden, so dass adaptive Verfahren zur Effizienzsteigerung unerlässlich sind. Hierzu bieten sich neuartige, auf speziellen Basisfunktionen, sogenannten Wavelets, basierende Verfahren an. Die starken analytischen Eigenschaften von Wavelets erlauben insbesondere die Entwicklung von verlässlichen a-posteriori Fehlerschätzern. Darauf aufbauend können adaptive Verfeinerungsstrategien entwickelt werden, deren (optimale) Konvergenz für eine große Klasse von Problemen inklusive Operatoren negative Ordnung gezeigt werden kann. Wir arbeiten zurzeit an der Verallgemeinerung dieser Ansätze auf nichtlineare Probleme, inverse Probleme und stochastische partielle Differentialgleichungen.

Weitere Schwerpunkte sind die Besov-Regularitätstheorie partieller Differentialgleichungen und Computational Harmonic Analysis (Shearlet-Theorie).

Als weiterer zentraler Forschungsbereich ist in letzter Zeit die mathematische Modellierung und numerische Simulation zellbiologischer Systeme hinzugekommen. Hier steht zurzeit die Entwicklung von mathematischen Modellen zur Beschreibung von Zellpolarität im Mittelpunkt.

Forschungsprojekt

Im Rahmen von SYNMIKRO beschäftigen wir uns primär mit der mathematischen Modellierung und der numerischen Simulation von zellbiologischen Systemen. Das generelle Ziel ist es, mittels der Analyse geeigneter mathematischer Modelle ein tieferes Verständnis der zugrunde liegenden Systeme zu gewinnen. Langfristig sollen die gewonnenen Erkenntnisse dazu dienen, verlässliche Vorhersagen für das Design von Experimenten zu machen. Im Zentrum der Forschungen steht derzeit die Entwicklung von mathematischen Modellen zur Beschreibung von Zellpolarität, speziell beim Bakterium Myxococcus xanthus. Die Bewegungsmuster von M. xanthus sind eng mit Proteinoszillationen innerhalb der Zelle gekoppelt. Deshalb wurde zunächst untersucht, ob solche Proteinoszillationen durch äußere Anregung (Trigger) induziert sein müssen oder ob eigenständig oszillierende Systeme mit wenigen Spezies möglich sind. Zu diesem Zwecke wurde ein mathematisches Modell für ein System aus nur zwei Proteinen unter möglichst wenig einschränkenden Annahmen entwickelt. Die prinzipiellen Annahmen dieses Modells sind: eine Wechselwirkung der Proteine findet nur an den Zellpolen statt, der Transport der Proteine durch das Innere der Zelle erfolgt durch Diffusion ohne Wechselwirkung. In beiden Zellpolen gelten identische Gesetze für die Wechselwirkungen, keiner der Pole ist ausgezeichnet, Oszillationen sind eine Folge der Dynamik im Modell. Tatsächlich konnte gezeigt werden, dass im Rahmen eines solchen Modells Oszillationen ohne äußere Anregungen möglich sind! In naher Zukunft wird das Modell weiter verfeinert und verallgemeinert werden, stochastische Einflüsse werden berücksichtigt und andere Wechselwirkungsszenarien systematisch studiert.

Ein weiterer Schwerpunkt ist die Entwicklung geeigneter mathematischer Verfahren zur Analyse elektronenmikroskopischer Bilder, die bei der Analyse zellbiologischer Systeme auftreten. Die Stichworte sind hier unter anderem Segmentierung und Tracking. Diese Forschungen dürften wegen der generellen Problematik auch für zahlreiche andere SYNMIKRO-Projekte relevant sein.

Im Rahmen von SYNMIKRO kooperieren wir mit der AGs Eckhardt (FB Physik), Kostina (FB Mathematik), Lenz (FB Physik) und Søgaard-Andersen (MPI).